起手牌范围和筹码深浅的关系

无限德州扑克里面，评估起手牌的质量，必须要考虑到筹码深度。玩家会有感觉，当筹码很浅的时候，AJo、KQo这样的牌有比较强的战斗力，65s则没什么使用价值。筹码很深的时候，情况正好反过来，AJo、KQo开始失去优势，65s这种造顺子和造同花能力都较强的牌价值上升很多，甚至超过前者。

这种牌力随着筹码深度而变化的现象，能不能量化？笔者最近提出了一个方案，叫做起手牌的“可玩指数”，其目的正是量化这种现象。

起手牌牌力发生变化，其根本是不同筹码深度下我们的“目标”不同。在50BB下，我们的目标是到河牌形成顶对顶踢脚或者超对，更强的牌力未免有点“浪费”；而在500BB下，我们目标则变为顺子、同花、暗三或者葫芦，这时候一副对子的牌力就显得“不够”了。

对比A7o和JTs两手牌，它们翻牌前的equity之比是51.5：48.5，可算作势均力敌。然而，我们会认为筹码较浅的时候，A7o更适合玩，而较深筹码时，JTs更好。

之所以出现这种情况，是因为JTs “造较大牌”能力跟A7o差不多，而“造很大牌”的能力远高于A7o。在随机的五张公牌面上，对比二者“造较大牌”的能力，JTs有23.6%的几率能排进前18%，而A7o有27.2%的几率排进前18%，二者相差不多；对比二者“造很大牌”的能力，JTs有13.2%的几率能排进前5%，而A7o仅有4.3%的几率排进前5%，二者相差两倍多。

再来看另一对翻牌前equity非常接近的起手牌：AJo和44。AJo造顺子和同花能力都不强，但造顶对的能力很强。44则有较高的造暗三、葫芦的能力，但除此之外基本没有可取之处。这造成了AJo是短筹码的宠儿，而44适合比较深的筹码。随机的公牌面上，AJo有47.8%的几率排名前30%；而44仅有23%的几率做成这样的好牌，远远落后于AJo，尚不及一手随机起手牌。到了制造顶级大牌，情况就反过来了：AJo仅有5%的几率做成前3%的超级强牌，而44则有8.6%的几率做成这样的超级强牌。

Q：“做成前xx%的好牌”这样的表述，我不太理解？

A：我来解释一下。

比如，我拿着AA。我没看见的牌还有50张。其中2张是对手的牌，5张是尚未发出的公牌面。

对手的牌有C(50,2)=1225种，公牌面有C(48,5)=1,712,304种。

要计算我们的牌对对手（随机牌）的equity，就要模拟1225*1712304=2,097,572,400 (20多亿个结果)

当然也可以先算公牌面C(50,5)=2,118,760种，对手的牌有C(45,2)=990种，总结果数仍然是2,097,572,400。两种算法完全一致。

这20多亿个结果里面，AA大约能胜出17.8亿，输掉剩下的3.2亿。所以AA的赢率是17.8/20.9 = 85%

这种在所有20多亿个结果中直接统计输赢的方法，就是大多数软件计算equity的方法。起手牌×公牌面的20多亿个组合一视同仁，不加区分。

现在我们来对这20多亿个组合进行分组。

| 第1种分组方式——————-

按照对手的1225手牌进行分组，分成1225组。

比如当对手是K♥Q♠的时候，5张公牌面共有1,712,304种。其中，我们赢150万，输27万，AA的equity是86.9%。对手是4♥4♠的时候，我们再统计这1,712,304种当中的输赢，算出我们equity是82%。

也就是说，这种分组方式，能计算出AA对于所有特定起手牌的equity。这很直观。

| 第2种分组方式——————-

第二种分组方式的结果稍微不那么直观，但它正是我们计算的基础。

我们先按照公牌面分组，也就是说，把20多亿个结果分为2,118,760组。每组的成员990个，分别是对手的990手起手牌。每一组里面的公牌面都是一样的。然后，在每一组内部，我们再统计AA的equity。这个equity代表公牌面固定时我们的底牌对对手随机牌的equity。

比如，假设某一组公牌面是K♥Q♥J♦4♠4♦，在这样的公牌面下，AA赢868次，输122次，equity是87.73%。可见牌面虽然有顺面，但无同花面、有公对，AA赢面并不算低。

再比如，有一组是8♥7♥6♦5♠2♥，4张顺面还带三张花，AA的equity只有54.21%。可见在非常湿滑的牌面，AA赢率比随机起手牌高不了多少。

再比如，在A♥T♠T♠3♦2♦这一组，AA是顶葫芦，只输给四条，equity是99.9%。

继续列举公牌面，直到所有2,118,760都列举完，我们会得到2,118,760个百分数，每个都代表AA在某一指定公牌面上的表现。这2,118,760个数字，体现出AA的equity在各公牌面的分布情况。

我们发现，在这2,118,760个百分数中，有91.8%都大于30%，有28.3%都大于10%，有17.1%都大于5%。这些数字的意思是说，AA在随机的公牌面上对随机牌，有91.8%的概率能排进前30%，有28.3%的概率能排进前10%，有17.1%的概率能排进前5%。

一手“实力平均”的牌，应该有正好30%的概率排进前30%，而AA却有91.8%的概率能排进前30%。如果我们把前30%的牌力定位为靶标，那么我们可以说，AA的中靶率是91.8%/30%=3.06，达到平均值的3倍以上。

同理，如果我们把10%作为靶标，AA的中靶率是28.3%/10%=2.83；把5%作为靶标，AA的中靶率是17.1%/5%=3.42。

定义：可玩指数是指某一起手牌在特定筹码深度时“应该玩”的程度。可玩指数越高，越应该玩；可玩指数越低，越应该抛弃。

衡量办法：给定某起手牌，对上单一对手的纯随机牌，根据筹码深度的不同，设定一个“靶标值”前n%，如果这手牌在所有公牌面上的河牌Equity落在top n%，称为“中靶”。中靶概率是h%，则h/n称为这手牌在该筹码深度下的【可玩指数】。

靶标值n%的取值：显然在这个衡量系统中，靶标值的选取非常关键。影响靶标值选取的唯一系数是有效筹码深度。筹码越深则n%越小，含义是，深筹码下我们目标应该是河牌能做成“非常大”的那些牌，浅筹码下n%较小，含义是我们的目标是“比较大但不用太大”的那些牌。n%与筹码深度不是严格线性关系，这跟扑克的性质有关。翻前的大牌在翻后不会以同等概率领先，而是不断变弱。一部分翻前的弱牌反而会变强。也就是说，牌的强度会随着公牌的发展而趋向模糊化，均匀化。

经笔者反复研究，暂定的靶标值取值如下：

下面几张图，给出了筹码深度从15BB到1000BB的可玩指数。图片是染色的，数值越高越偏绿色；越低越偏红色。

*suited：同花 / offsuit：不同花 / pair：对子

↑ 可玩指数，有效筹码=15BB，n%=40%

↑ 可玩指数，有效筹码=20BB，n%=30%

↑ 可玩指数，有效筹码=50BB，n%=18%

↑ 可玩指数，有效筹码=100BB，n%=12%

↑ 可玩指数，有效筹码=150BB，n%=10%

↑ 可玩指数，有效筹码=200BB，n%=8%

↑ 可玩指数，有效筹码=500BB，n%=5%

↑ 可玩指数，有效筹码=1000BB，n%=3.3%

这些图片中可以看出一些很有趣的趋势：

1 | 高张

筹码越低，高张越重要。筹码越高，高张如果没有其他性能辅助，变得不可玩。1000BB下ATo可玩性还不如Q2s。

2 | 同花底牌

低筹码的时候底牌同花与否几乎不起到任何作用。直到100BB深度时，同花的作用才显著起来，到200BB以上，同花全面压倒杂色，连A6s都比AKo的可玩指数要高。

3 | 连张

跟同花类似，低筹码几乎不起任何作用。到了较深筹码，才开始突出威力。但连张的可玩性的提升似乎不如同花那么显著。

4 | 对子

AA/KK，无论何种筹码深度都是怪兽级别的。但中等对子和小对子的命运随着筹码深度变化很大。中等对子JJ-77，在筹码20BB以下可玩指数很高，因为他们即使到河底不是超对也有相当的战斗力；到50BB和100BB，他们的可玩指数相对下降，因为这个深度造set略显不够，可是单靠一对到河底牌力也不足了；到150BB以上，可玩指数再次上升，因为他们造set的潜在回报足够大了。小对子66-22，中筹码和深筹码的表现跟中等对子类似，唯一的区别是它们在20BB下的浅筹码战斗力不够，因为单靠本身牌力不够支撑到河牌比大小。

声明：“可玩指数”是一个初级产品，它没有考虑位置、对手风格特点、牌局动态等。只如何应用可玩指数，也处于探索阶段。目前仅能用于参考。